回転体の重心

曲線（直線）${\displaystyle \begin{array}{ccc}y& =& f\left(x\right)\end{array}}$と${\displaystyle x}$軸で挟まれた区間${\displaystyle \left[a,b\right]}$の部分を${\displaystyle x}$軸を中心として回転させたときにできる回転体の体積${\displaystyle V}$ は，断面積が${\displaystyle S\left(x\right)=\pi {\left\{f\left(x\right)\right\}}^2}$（円の面積は，半径の${\displaystyle 2}$ 乗${\displaystyle \times }$ 円周率 ）であるから

${\displaystyle V={\displaystyle {\int }_a^b\pi {\left\{f\left(x\right)\right\}}^2}dx}$ （体積の計算の ${\displaystyle 2}$ つ目の式を参照）

と表すことができる．

ここで，回転体の重心${\displaystyle G}$の${\displaystyle x}$座標を${\displaystyle x_G}$とすると，${\displaystyle x_{\text{G}}}$は

${\displaystyle x_G=\frac{1}{V}{\displaystyle {\int }_a^b\pi x{\left\{f\left(x\right)\right\}}^2}dx}$ （${\displaystyle S\left(x\right)=\pi {\left\{f\left(x\right)\right\}}^2}$を立体の重心の公式に代入する）

である．

■回転体の特徴

回転体の特徴として，図形の対称性より，回転体の重心は回転軸上にある．

つまり，回転軸を${\displaystyle x}$軸としたとき，回転体の重心は${\displaystyle x}$軸上（${\displaystyle y_{\text{G}}=0}$ ）にあるため，計算の際は${\displaystyle x_{\text{G}}}$ だけを求めればよい．

逆に，回転軸を${\displaystyle y}$ 軸（${\displaystyle x_{\text{G}}=0}$）としたときは，${\displaystyle y_{\text{G}}}$ だけを求めればよい．

 

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最終更新日： 2023年2月6日