四角錐の重心の計算

■問題

図のような底面の面積が${\displaystyle A}$，高さが${\displaystyle H}$ とする角錐の重心を求めよ．

答

角錐の底面より高さ${\displaystyle \frac{H}{4}}$ の位置

■ヒント

立体の重心を参考にする．

■答

図のように四角錐の頂点から底面に下した線分が$x$ 軸と重なるようにし，四角錐の頂点を原点とする．

$x$ 軸の位置$x$ における${\displaystyle x}$軸に垂直で厚さが微小な${\displaystyle dx}$，面積が${\displaystyle S\left(x\right)}$の薄板の体積${\displaystyle dV}$は

${\displaystyle dV=S\left(x\right)dx}$　･･････(1)

となる．また， 面積比${\displaystyle \begin{array}{ccc}A:S\left(x\right)& =& H^2:x^2\end{array}}$ より

${\displaystyle S\left(x\right)={\displaystyle A\frac{x^2}{H^2}}\begin{array}{ccc}& & \end{array}}$　･･････(2)

となる．よって，(2)を(1)に代入すると

${\displaystyle dV=A\frac{x^2}{H^2}dx}$

となる．重心は ${\displaystyle x}$ 　軸上にあるので，重心の ${\displaystyle x}$ 座標を ${\displaystyle x_G}$ 　とすると

${\displaystyle x_G=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{H}x}dV}{{\displaystyle {\int }_0^H}dV}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle {\int }_0^{H}xA\frac{x^2}{H^2}}dx}{{\displaystyle {\int }_0^{H}A\frac{x^2}{H^2}}dx}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \frac{A}{H^2}}{{\displaystyle \int }}_0^H{x}^{3}dx}{{\displaystyle \frac{A}{H^2}}{{\displaystyle \int }}_0^H{x}^{2}dx}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle {\int }_0^H{x}^3}dx}{{\displaystyle {\int }_0^H{x}^2}dx}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle {\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^H}}{{{\displaystyle \left[\frac{x^3}{3}\right]}}_0^H}}$${\displaystyle =\frac{{\displaystyle \frac{H^4}{4}}}{{\displaystyle \frac{H^4}{3}}}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{4}H}$

となる．よって，重心の位置は，角錐の底面より高さ${\displaystyle \frac{H}{4}}$ の位置にある．

　

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最終更新日： 2023年11月24日