円錐の重心の計算

■問題

図のような半径 $R$ の半球の重心を求めよ．

■答

円の底面の中心より高さ ${\displaystyle \frac{3}{8}R}$ の位置

■ヒント

半球は，回転であるので，回転体の重心を参考にする．

■解説

半球の底面の円の中心を $x$ 軸の原点とし，底面は $x$ 軸に垂直になっている．

$x$ 軸の位置 $x$ における ${\displaystyle x}$ 軸に垂直で厚さが微小な ${\displaystyle dx}$ の円板の半径 $r$ は

${\displaystyle r=\sqrt{R^2-x^2}}$

となる．よって，円板の体積 ${\displaystyle dV}$ は

${\displaystyle \begin{array}{ccc}dV& =& \pi r^{2}dx\end{array}}$ ${\displaystyle =\pi \left(R^2-x^2\right)dx}$ ･･････(1)

となる．重心は ${\displaystyle x}$ 軸上にあるので，重心の ${\displaystyle x}$ 座標を ${\displaystyle x_G}$ とすると

${\displaystyle x_G=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{R}x}dV}{{\displaystyle {\int }_0^R}dV}}$ ${\displaystyle =\frac{{{\displaystyle \int }}_0^{R}x\pi \left(R^2-x^2\right)dx}{{{\displaystyle \int }}_0^R\pi \left(R^2-x^2\right)dx}}$ ${\displaystyle =\frac{\pi {{\displaystyle \int }}_0^R\left(x{R}^2-x^3\right)dx}{\pi {{\displaystyle \int }}_0^R\left(R^2-x^2\right)dx}}$ ${\displaystyle =\frac{{\left[\frac{1}{2}{R}^{2}x-\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^R}{{\left[R^{2}x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^R}}$ ${\displaystyle =\frac{\frac{1}{2}{R}^4-\frac{1}{4}{R}^4}{R^3-\frac{1}{3}{R}^3}}$ ${\displaystyle =\frac{\frac{1}{4}{R}^4}{\frac{2}{3}{R}^3}}$ ${\displaystyle =\frac{3}{8}R}$

となる．よって，重心の位置は， 円の底面の中心より高さ ${\displaystyle \frac{3}{8}R}$ の位置にある．

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最終更新日： 2025年3月8日