積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線${\displaystyle y=x^2-2x-3}$と${\displaystyle x}$軸で囲まれた面積を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{32}{3}}$

■解説

${\displaystyle y=x^2-2x-3}$ と${\displaystyle x}$ 軸${\displaystyle (y=0)}$ の交点の${\displaystyle x}$座標を求める．

${\displaystyle x^2-2x-3=0}$

${\displaystyle (x+1)(x-3)=0}$

${\displaystyle x=-1\text{,}3}$

${\displaystyle y=x^2-2x-3}$ と$x$軸で囲まれた面積は図の赤色の部分になる．

求める面積$S$は，面積の計算より

${\displaystyle S=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}\left\{0-(x^2-2x-3)\right\}\mathrm{dx}}$

${\displaystyle ={\left[-\left(\frac{x^3}{3}-x^2-3x\right)\right]}_{-1}^3}$

${\displaystyle =-\left[\left(\frac{3^3}{3}-3^2-3\cdot 3\right)\right.}$${\displaystyle \left.-\left\{\frac{{(-1)}^3}{3}-{(-1)}^2-3\cdot (-1)\right\}\right]}$

${\displaystyle =\frac{32}{3}}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日：2023年11月13日