積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線 $y = x^{2} - 2 x - 1$ と曲線 $y = - x^{2} + x + 8$ で囲まれた面積を求めよ．

■答

$\frac{243}{8}$

■解説

$y = x^{2} - 2 x - 1$ と $y = - x^{2} + x + 8$ の交点の $x$ 座標を求める．

$x^{2} - 2 x - 1 = - x^{2} + x + 8$

$2 x^{2} - 3 x - 9 = 0$

$(x - 3) (2 x + 3) = 0$

$x = 3, - \frac{3}{2}$

$y = x^{2} - 2 x - 1$ と $y = - x^{2} + x + 8$ に囲まれた面積は図のようになる．

求める面積Sは，面積の計算より

$S = \int_{- \frac{3}{2}}^{3} \{- x^{2} + x + 8 - (x^{2} - 2 x - 1)\} d x$

$= \int_{- \frac{3}{2}}^{3} (- 2 x^{2} + 3 x + 9) d x$

$= {[- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 9 x]}_{- \frac{3}{2}}^{3}$

$= (- \frac{2}{3} \times 3^{3} + \frac{3}{2} \times 3^{2} + 9 \times 3)$ $- \{- \frac{2}{3} \times {(- \frac{3}{2})}^{3} + \frac{3}{2} \times {(- \frac{3}{2})}^{2} + 9 \times (- \frac{3}{2})\}$

$= \frac{243}{8}$

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学生スタッフ作成
最終更新日：2023年11月13日