積分を用いて面積を求める問題

■問題

曲線${\displaystyle {y=x}^2+4x-3}$と曲線${\displaystyle y=-x^2+2x+1}$ で囲まれた面積を求めよ．

■答

${\displaystyle 9}$

■解説

${\displaystyle {y=x}^2+4x-3}$ と${\displaystyle {y=-x}^2+2x+1}$の交点の${\displaystyle x}$ 座標を求める．

${\displaystyle x^2+4x-3{=-x}^2+2x+1}$

${\displaystyle 2x^2+2x-4=0}$

${\displaystyle {2(x}^2+x-2)=0}$

${\displaystyle 2(x-1)(x+2)=0}$

${\displaystyle x=-2,1}$

${\displaystyle {y=x}^2+4x-3}$ と${\displaystyle y=-x^2+2x+1}$ に囲まれた面積は図のようになる．

求める面積Sは，面積の計算より

${\displaystyle =\underset{-2}{\overset{1}{\int }}(-2x^2-2x+4)dx}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{2}{3}{x}^3-x^2+4x\right]}_{-2}^1}$

${\displaystyle =\left(-\frac{2}{3}·1^3-1^2+4·1\right)}$ ${\displaystyle -\left\{-\frac{2}{3}·{\left(-2\right)}^3-{\left(-2\right)}^2+4·\left(-2\right)\right\}}$

${\displaystyle =9}$

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学生スタッフ作成
最終更新日：2023年11月13日