部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int x^3{e}^{x}dx}$

■答

${\displaystyle x^3{e}^x-3x^2{e}^x+6x{e}^x-6e^x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

を用いる．

■解説

${\displaystyle {\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x}$ 　より

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3}$，${\displaystyle g\left(x\right)=e^x}$ 　として部分積分を行う．

${\displaystyle \int x^3{\left(e^x\right)}^{\prime }dx}$　（これは公式の左辺${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$に対応している ）

${\displaystyle =x^3{e}^x-\int {\left(x^3\right)}^{\prime }{e}^{x}dx}$　（これは公式の右辺 ${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応している ）

${\displaystyle =x^3{e}^x-\int 3x^2{e}^{x}dx}$

${\displaystyle =x^3{e}^x-3\int x^2{\left(e^x\right)}^{\prime }dx}$

（ 次は${\displaystyle \int x^2{\left(e^x\right)}^{\prime }dx}$ の部分積分を同様にして行う）

${\displaystyle =x^3{e}^x-3\left\{x^2{e}^x-\int {\left(x^2\right)}^{\prime }{e}^{x}dx\right\}}$

${\displaystyle =x^3{e}^x-3x^2{e}^x+3\int 2x{e}^{x}dx}$

${\displaystyle =x^3{e}^x-3x^2{e}^x+6\int x{\left(e^x\right)}^{\prime }dx}$

（次は${\displaystyle \int x{\left(e^x\right)}^{\prime }dx}$ の部分積分を同様にして行う）

${\displaystyle =x^3{e}^x-3x^2{e}^x+6\left\{x{e}^x-\int {\left(x\right)}^{\prime }{e}^{x}dx\right\}}$

${\displaystyle =x^3{e}^x-3x^2{e}^x+6x{e}^x-6\int e^{x}dx}$

${\displaystyle =x^3{e}^x-3x^2{e}^x+6x{e}^x-6e^x+C}$

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle x^3{e}^x-3x^2{e}^x+6x{e}^x-6e^x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle x^3{e}^x}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月23日