部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int log\left(x+1\right)dx}$ 　

■答

${\displaystyle \left(x+1\right)log\left(x+1\right)-x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ 　

を用いる．

■解説

${\displaystyle x^{\prime }=1}$ 　より

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$，${\displaystyle g\left(x\right)=log\left(x+1\right)}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int log\left(x+1\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\int x^{\prime }log\left(x+1\right)dx}$　（ この式は公式の左辺の${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =xlog\left(x+1\right)-\int x{\left\{log\left(x+1\right)\right\}}^{\prime }dx}$ 　

（この式は公式の右辺の${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$に対応する）　

${\displaystyle =xlog\left(x+1\right)-\int x\cdot \frac{1}{x+1}dx}$ 　

${\displaystyle =xlog\left(x+1\right)-\int \left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx}$ 　

（∵ ${\displaystyle \frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}}$ 　）

${\displaystyle =xlog\left(x+1\right)-\left\{\int dx-\int \frac{1}{x+1}dx\right\}}$ 　

${\displaystyle =xlog\left(x+1\right)-\left\{x-log\left(x+1\right)\right\}}$ 　

${\displaystyle =xlog\left(x+1\right)-x+log\left(x+1\right)+C}$ 　

（ ${\displaystyle xlog\left(x+1\right)}$ 　と　${\displaystyle log\left(x+1\right)}$ 　をまとめる ）

${\displaystyle =\left(x+1\right)log\left(x+1\right)-x+C}$ 　　

■別解

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ の代わりに　 ${\displaystyle f\left(x\right)=x+1}$ としてもよい．

${\displaystyle {\left(x+1\right)}^{\prime }=1}$ より

${\displaystyle f\left(x\right)=x+1}$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)=log\left(x+1\right)}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int log\left(x+1\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\int {\left(x+1\right)}^{\prime }log\left(x+1\right)dx}$　（この式は公式の左辺の ${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =\left(x+1\right)log\left(x+1\right)}$${\displaystyle -\int \left(x+1\right){\left\{log\left(x+1\right)\right\}}^{\prime }dx}$ 　

（この式は公式の右辺の${\displaystyle f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$に対応する）

${\displaystyle =\left(x+1\right)log\left(x+1\right)}$${\displaystyle -\int \left(x+1\right)\cdot \frac{1}{x+1}dx}$ 　

${\displaystyle =\left(x+1\right)log\left(x+1\right)-\int dx}$ 　

${\displaystyle =\left(x+1\right)log\left(x+1\right)-x+C}$ 　

よってこの問題では，${\displaystyle f\left(x\right)=x}$として部分積分を行っても，あるいは，${\displaystyle f\left(x\right)=x+1}$として部分積分を行っても，いずれも計算することができる．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \left(x+1\right)log\left(x+1\right)-x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle log\left(x+1\right)}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月23日