部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int \sqrt{x^2+5}dx}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+5}+5log\left|x+\sqrt{x^2+5}\right|\right)+C}$ （ $C$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$

を用いる．

■解説

${\displaystyle x^{\prime }=1}$ より

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ ， ${\displaystyle g\left(x\right)=\sqrt{x^2+5}}$

として部分積分を行う．

${\displaystyle \int \sqrt{x^2+5}dx}$

${\displaystyle =\int {\left(x\right)}^{\prime }\sqrt{x^2+5}dx}$ （この式は公式の右辺の ${\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$ に対応する）

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}-\int x{\left\{{\left(x^2+5\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}}^{\prime }dx}$

（この式は公式の左辺 ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$ に対応する）

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$ ${\displaystyle -\int x\cdot \frac{1}{2}\cdot 2x{\left(x^2+5\right)}^{-\frac{1}{2}}dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+5}}dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}-\int \frac{x^2+5-5}{\sqrt{x^2+5}}dx}$

（ ${\displaystyle 5-5=0}$ なので，式の値は変らない）

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$ ${\displaystyle -\int \left(\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+5}}-\frac{5}{\sqrt{x^2+5}}\right)dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$ ${\displaystyle -\int \left(\sqrt{x^2+5}-\frac{5}{\sqrt{x^2+5}}\right)dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$ ${\displaystyle -\int \sqrt{x^2+5}dx+\int \frac{5}{\sqrt{x^2+5}}dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$ ${\displaystyle -\int \sqrt{x^2+5}dx+5\int \frac{1}{\sqrt{x^2+5}}dx}$

${\displaystyle =x\sqrt{x^2+5}}$ ${\displaystyle -\int \sqrt{x^2+5}dx+5log\left|x+\sqrt{x^2+5}\right|}$

（ ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+5}}dx=log\left|x+\sqrt{x^2+5}\right|}$ の計算過程は， 積分の公式を使った問題 ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+5}}dx}$  を参照 ）

ここで，右辺の式の中に左辺の式が含まれている．よって，左辺の式を ${\displaystyle I}$ として計算を進める．

${\displaystyle I=\int \sqrt{x^2+5}dx}$ とおく

よって，積分定数 $C$ を加えて

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+5}+5log\left|x+\sqrt{x^2+5}\right|\right)+C}$ を微分し，積分前の式　 ${\displaystyle \sqrt{x^2+5}}$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2025年8月18日