部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int x{e}^x\mathit{dx}}$ 　

■答

${\displaystyle e^x\left(x-1\right)+C}$　　（$C$は積分定数） 　

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

を用いる.

■解説

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=e^x}$, ${\displaystyle g\left(x\right)=x}$ 　

と対応させる.

${\displaystyle f\left(x\right)=\int e^x\mathit{dx}=e^x}$　（積分定数は省略している）

${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)={\left(x\right)}^{\prime }=1}$ 　

よって

${\displaystyle \int x{e}^x\mathit{dx}=\int e^x\cdot \mathit{xdx}}$ 　 　

${\displaystyle =\int {\left(e^x\right)}^{\prime }\cdot \mathit{xdx}}$ 　

${\displaystyle =e^x\cdot x-{\displaystyle \int e^x\cdot {\left(x\right)}^{\prime }dx}}$

${\displaystyle =e^x\cdot x-{\displaystyle \int e^{x}dx}}$

${\displaystyle =e^x\cdot x-e^x+C}$　　（$C$は積分定数）

${\displaystyle =e^x\left(x-1\right)+C}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題 >>${\displaystyle \int x{e}^x\mathit{dx}}$

最終更新日： 2023年11月23日