部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分)．

${\displaystyle \int x{e}^x\mathit{dx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle e^x\left(x-1\right)+C}$ （ $C$ は積分定数） 　

■ヒント

部分積分法

${\displaystyle {\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}dx}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-{\displaystyle \int f^{\prime }\left(x\right)}g\left(x\right)dx}$

を用いる.

■解説

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=e^x}$ , ${\displaystyle g\left(x\right)=x}$

と対応させる.

${\displaystyle f\left(x\right)=\int e^x\mathit{dx}=e^x}$ （積分定数は省略している）

${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)={\left(x\right)}^{\prime }=1}$

よって

${\displaystyle \int x{e}^x\mathit{dx}=\int e^x\cdot \mathit{xdx}}$

${\displaystyle =\int {\left(e^x\right)}^{\prime }\cdot \mathit{xdx}}$

${\displaystyle =e^x\cdot x-{\displaystyle \int e^x\cdot {\left(x\right)}^{\prime }dx}}$

${\displaystyle =e^x\cdot x-{\displaystyle \int e^{x}dx}}$

${\displaystyle =e^x\cdot x-e^x+C}$ （ $C$ は積分定数）

${\displaystyle =e^x\left(x-1\right)+C}$

　

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最終更新日： 2025年8月21日