平面図形の重心を求める問題

■問題

曲線 ${\displaystyle y=\sqrt{9-x^2}}$ と ${\displaystyle x}$ 軸と ${\displaystyle y}$ 軸に囲まれた図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置を求めよ．ただし， ${\displaystyle x\geqq 0}$ と，重心 の ${\displaystyle x}$ 座標を ${\displaystyle x_{\text{G}}}$ ， ${\displaystyle y}$ 座標を ${\displaystyle y_{\text{G}}}$ とする．

■答

図形の重心 G の位置は， ${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{4}{\pi },\frac{4}{\pi }\right)}$  

■ヒント

平面の重心の計算より

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{1}{S}{\int }_c^{d}y\text{G}\left(y\right)dy}$

の公式を用いる．

■解説

●図形の面積 $S$ を求める

${\displaystyle S={\displaystyle {\int }_0^3\sqrt{9-x^2}dx}}$

${\displaystyle x=3\sin \theta }$ とおく．

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=3\cos \theta \to dx=3\cos \theta d\theta }$

${\displaystyle x:0\to 3}$ の時 ${\displaystyle \theta :0\to \frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{9-{\left(3\sin \theta \right)}^2}\cdot 3\cos \theta d\theta }}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{9{\cos }^2\theta }\cdot 3\cos \theta d\theta }}$

${\displaystyle =9{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta }}$

${\displaystyle =9{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2\theta }{2}d\theta }}$

${\displaystyle =9{\left[\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin 2\theta \right]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$

${\displaystyle =9\cdot \frac{\pi }{4}}$

${\displaystyle =\frac{9}{4}\pi }$

● ${\displaystyle x_{\text{G}}}$ を求める

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{1}{\frac{9}{4}\pi }{\displaystyle {\int }_0^{3}x\sqrt{9-x^2}dx}}$

${\displaystyle t=9-x^2}$ とお．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-2x\to xdx=-\frac{1}{2}dt}$

${\displaystyle x:0\to 3}$ の時 ${\displaystyle t:9\to 0}$

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{9}{4}\pi }{\displaystyle {\int }_9^0\sqrt{t}\left(-\frac{1}{2}dt\right)}}$

${\displaystyle =-\frac{2}{9\pi }{\displaystyle {\int }_9^0{t}^{\frac{1}{2}}dt}}$

${\displaystyle =-\frac{2}{9\pi }{\left[\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}\right]}_9^0}$

${\displaystyle =-\frac{2}{9\pi }\left(0-\frac{2}{3}\cdot 27\right)}$

${\displaystyle =\frac{4}{\pi }}$

● ${\displaystyle y_{\text{G}}}$ を求める

曲線 ${\displaystyle y=\sqrt{9-x^2}}$ と ${\displaystyle x}$ 軸と ${\displaystyle y}$ 軸に囲まれた図形は直線 $y=x$ に関して対称であることより

$y_{\text{G}}=x_{\text{G}}$

となる．

以上より，図形の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の位置は， ${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)=\left(\frac{4}{\pi },\frac{4}{\pi }\right)}$ となる．

　

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最終更新日： 2025年3月8日