平面(薄板)の重心

図のような赤色の平面の重心 ${\displaystyle \text{G}}$ の座標${\displaystyle \left(x_{\text{G}},y_{\text{G}}\right)}$ は

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{{\displaystyle {\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}}}$

${\displaystyle y_{\text{G}}=\frac{{\displaystyle {\int }_c^{d}yg\left(y\right)dy}}{{\displaystyle {\int }_c^{d}g\left(y\right)dy}}}$

と計算できる．

■導出

まず，平面の質量${\displaystyle M}$を求める．

面積${\displaystyle S}$ を短冊状に分割し定積分の考え方を用いて求めると

${\displaystyle S=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i}}$${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}}$　･･････(1)

(${\displaystyle {\xi }_i}$ の位置の微小な幅${\displaystyle \Delta x_i}$ の短冊状の面積は${\displaystyle f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i}$)

となる．面密度を${\displaystyle \rho }$ とすると質量は

${\displaystyle M=\rho S=\rho {\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}}$　･･････(2)

次に，立体の重心${\displaystyle \text{G}}$の${\displaystyle x}$座標${\displaystyle x_G}$を求める．

「重心」の定義は「物体の各部分に働く重力の合力の作用点」であり，${\displaystyle x}$ 軸と交わり${\displaystyle x}$ 軸と重力の方向に垂直な回転軸の回りに関して「重力による力のモーメント」＝「各々の力のモーメントの和（連続体の場合は積分）」が成り立たつ．力のモーメントの正方向が反時計回りの方向であることを考慮すると

${\displaystyle -Mg{x}_{\text{G}}=-\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n\rho \left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)g{\xi }_i}}$

(${\displaystyle g}$ は重力加速度の大きさ，${\displaystyle {\xi }_i}$ の位置の微小な幅${\displaystyle \Delta x_i}$ の短冊状の質量は${\displaystyle \rho \left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)}$ ，重力は${\displaystyle \rho \left(f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i\right)g}$ )

${\displaystyle -Mg{x}_{\text{G}}=-\rho g\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\xi }_{i}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i}}$

定積分の定義より

${\displaystyle -Mg{x}_{\text{G}}=-\rho g{\displaystyle {\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle x_{\text{G}}=\frac{\rho }{M}{\displaystyle {\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}}$

(2)より

${\displaystyle =\frac{\rho }{\rho S}{\displaystyle {\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{S}{\displaystyle {\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{{\displaystyle {\int }_a^{b}xf\left(x\right)dx}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}}}$

同様にして，重心の${\displaystyle y}$ 座標${\displaystyle y_{\text{G}}}$ を求めることができる．

　

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最終更新日： 2023年11月15日