平面(薄板)の重心

平面(薄板)の重心

図のような赤色の平面の重心 G の座標 x G , y G

x G = a b xf x dx a b f x dx

y G = c d yg y dy c d g y dy

と計算できる.

■導出

まず,平面の質量 M を求める.

面積 S を短冊状に分割し定積分の考え方を用いて求めると

S= lim n i=1 n f ξ i Δ x i = a b f x dx  ・・・・・・(1)

( ξ i の位置の微小な幅 Δ x i の短冊状の面積は f ξ i Δ x i )

となる.面密度を ρ とすると質量は

M=ρS=ρ a b f x dx  ・・・・・・(2)

次に,立体の重心 G x 座標 x G を求める.

「重心」の定義は「物体の各部分に働く重力の合力の作用点」であり, x 軸と交わり x 軸と重力の方向に垂直な回転軸の回りに関して「重力による力のモーメント」=「各々の力のモーメントの和(連続体の場合は積分)」が成り立たつ.力のモーメントの正方向が反時計回りの方向であることを考慮すると

Mg x G = lim n i=1 n ρ f ξ i Δ x i g ξ i

( g は重力加速度の大きさ, ξ i の位置の微小な幅 Δ x i の短冊状の質量は ρ f ξ i Δ x i ,重力は ρ f ξ i Δ x i g )

Mg x G =ρg lim n i=1 n ξ i f ξ i Δ x i

定積分の定義より

Mg x G =ρg a b xf x dx

x G = ρ M a b xf x dx

(2)より

= ρ ρS a b xf x dx

= 1 S a b xf x dx

= a b xf x dx a b f x dx

同様にして,重心の y 座標 y G を求めることができる.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分 >>平面の重心の計算

学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月15日