部分積分の問題

部分積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

(logx) 2 dx

■答

x ( logx ) 2 2xlogx+2x+C           ( C は積分定数)

■ヒント

部分積分法より,公式

f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) d x  

を用いる.

■解説

部分積分法の公式から,

( logx ) 2 dx= 1 ( logx ) 2 dx

とおく.

f (x)=1

g(x)= ( logx ) 2

とすると,

f(x)=x

g (x)= { ( logx ) 2 } =2 1 x ( logx ) 21 = 2 x ( logx )

となる.

よって,

(logx) 2 dx

=x ( logx ) 2 x 2 x ( logx ) dx

=x ( logx ) 2 2logx dx

=x ( logx ) 2 2 logx dx    ・・・・・・(1)

ここで, logx dx について部分積分をする.

部分積分法の公式から,

logx dx= 1logx dx

とおく.

f (x)=1

g(x)=logx

とすると,

f(x)=x

g (x)= 1 x

となる.

よって,(1)の続きを計算すると,

与式 =x ( logx ) 2 2 logx dx

=x ( logx ) 2 2{ x (logx) dx }

=x ( logx ) 2 2{ x( logx ) x 1 x dx }

=x ( logx ) 2 2{ xlogx 1 dx }

=x ( logx ) 2 2{ xlogxx }+C

=x ( logx ) 2 2xlogx+2x+C           ( C は積分定数)


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最終更新日: 2024年5月8日