部分積分法を用いた不定積分

■問題

${\displaystyle {\displaystyle \int x\log 3xdx}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2\log 3x-\frac{1}{4}{x}^2+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

部分積分法を用いる.

■解説

部分積分法の公式は ${\displaystyle {\displaystyle \int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)}}$ $-{\displaystyle \int f^{\prime }(x)g(x)dx}$

${\displaystyle f(x)=\log 3x}$

${\displaystyle g^{\prime }(x)=x}$

に当てはめると，

${\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}{x}^2}$

${\displaystyle f^{\prime }(x)=3\cdot \frac{1}{3x}=\frac{1}{x}}$

よって，

${\displaystyle {\displaystyle \int x\log 3xdx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^2\cdot \log 3x-{\displaystyle \int \frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{2}{x}^{2}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^2\log 3x-{\displaystyle \int \frac{x}{2}dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^2\log 3x-\frac{1}{4}{x}^2+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

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最終更新日： 2025年8月21日