置換積分

■問題

次の計算をせよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{{\sec }^{2}x}{{\tan }^{3}x}}dx}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2{\tan }^{2}x}+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

${\displaystyle \tan x=t}$ とおき， ${\displaystyle t}$ の式に変換して求める．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{{\sec }^{2}x}{{\tan }^{3}x}}dx}$ ･･････(1)

${\displaystyle \tan x=t}$ とおく．（置換積分法）

両辺を ${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{dt}{dx}}$

${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=dt}$

${\displaystyle \frac{1}{\cos x}=\sec x}$ より，　（ ${\displaystyle \sec x}$ は， ${\displaystyle \cos x}$ の逆数である．読みは「セカント」．）

${\displaystyle {\sec }^{2}xdx=dt}$

${\displaystyle \tan x=t}$ ， ${\displaystyle {\sec }^{2}xdx=dt}$ を(1)の式に代入すると

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{t^3}dt}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \int t^{-3}dt}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot t^{-2}+C}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2t^2}+C}$

置換していた ${\displaystyle t}$ を元に戻して，

${\displaystyle -\frac{1}{2{\tan }^{2}x}+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>> ${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{{\sec }^{2}x}{{\tan }^{3}x}}dx}$

最終更新日：2025年3月6日