指数の計算問題

■問題

次の式を簡単にせよ．

${\displaystyle \sqrt{96}+\sqrt{6}-\sqrt{216}}$

■答

${\displaystyle -\sqrt{6}}$

■ヒント

指数計算の手順を参照

■解き方

まず，各項の累乗根を指数を用いた表現に変更する ． 指数計算の手順　2

${\displaystyle \begin{array}{l}2\underset{¯}{)96}\\ 2\underset{¯}{)48}\\ 2\underset{¯}{)24}\\ 2\underset{¯}{)12}\\ 2\underset{¯}{)6}\\ 3\end{array}}$      ${\displaystyle 96=2^5\times 3}$    ${\displaystyle \sqrt{96}=\sqrt{2^5\times 3}={\left(2^5\times 3\right)}^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{5}{2}}\times 3^{\frac{1}{2}}}$

　

${\displaystyle \sqrt{6}=\sqrt{2\times 3}={\left(2\times 3\right)}^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{1}{2}}}$  

　

${\displaystyle \begin{array}{l}2\underset{¯}{)216}\hfill \\ 2\underset{¯}{)108}\hfill \\ 2\underset{¯}{)54}\hfill \\ 3\underset{¯}{)27}\hfill \\ 3\underset{¯}{)9}\hfill \\ 3\hfill \end{array}}$    ${\displaystyle 216=2^3\times 3^3}$    ${\displaystyle \sqrt{216}=\sqrt{2^3\times 3^3}={\left(2^3\times 3^3\right)}^{\frac{1}{2}}}$ ${\displaystyle =2^{\frac{3}{2}}\times 3^{\frac{3}{2}}}$

　

${\displaystyle \sqrt{96}+\sqrt{6}-\sqrt{216}}$${\displaystyle =2^{\frac{5}{2}}\times 3^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{3}{2}}\times 3^{\frac{3}{2}}}$

共通因数でくくる．指数の法則を用いて式を整理．

${\displaystyle =2^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{1}{2}}\left(2^2\times 3^0+2^0\times 3^0-2^1\times 3^1\right)}$

${\displaystyle =2^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{1}{2}}\left(4+1-6\right)}$

${\displaystyle =2^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{1}{2}}\times (-1)}$

${\displaystyle =-\sqrt{6}}$

●別解

${\displaystyle \sqrt{96}+\sqrt{6}-\sqrt{216}}$${\displaystyle =4\sqrt{6}+\sqrt{6}-6\sqrt{6}}$${\displaystyle =-\sqrt{6}}$

 

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最終更新日： 2023年11月27日