基本的な指数方程式の問題

■問題

次の指数方程式を解け．

${\displaystyle 4^{-x}=\frac{1}{16}}$

■答

${\displaystyle x=2}$

■計算

${\displaystyle 4^{-x}}$${\displaystyle =\frac{1}{16}}$${\displaystyle ={\left(16\right)}^{-1}}$${\displaystyle ={\left(4^2\right)}^{-1}}$${\displaystyle =4^{2\times \left(-1\right)}}$ ${\displaystyle =4^{-2}}$

${\displaystyle -x}$${\displaystyle =-2}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle =2}$

■解説

与式を見ると，左辺，右辺ともに底が$4$の指数を用いた表現にすることができる．

左辺はすでに底が$4$の指数を用いた表現になっている．

右辺を式変形する．指数法則を用いると

${\displaystyle \frac{1}{16}={\left(16\right)}^{-1}={\left(4^2\right)}^{-1}=4^{2\times \left(-1\right)}=4^{-2}}$

となる．

即ち与式は

${\displaystyle 4^{-x}=4^{-2}}$

と式を変形できた．

上の式の右辺と左辺は等しい．なおかつ，底は$4$で統一されている．よって

指数の値も等しい．つまり

${\displaystyle -x=-2}$

が成り立つ．

よって，求める$x$ の値は

${\displaystyle x=2}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日