指数の計算問題

■問題

次の式を簡単にせよ．

${\displaystyle {\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^{-1}+{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^{-1}}$

■答

${\displaystyle 2\sqrt{3}}$

■ヒント

指数計算の手順を参照

■解き方

${\displaystyle {\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^{-1}+{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^{-1}}$

−1乗の項を分数にする．

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}$

${\displaystyle \sqrt{3}}$  と${\displaystyle \sqrt{2}}$  との和と差に着目し，乗法の公式 ${\displaystyle \left(x-y\right)\left(x+y\right)=x^2-y^2}$を用いて通分する．

${\displaystyle =\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}}$

${\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{3-2}}$

${\displaystyle =2\sqrt{3}}$

　

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最終更新日： 2022年5月24日