基本的な指数不等式の問題

■問題

次の指数不等式を解け

${\displaystyle 4·3^{t+1}\leqq 9^t+27}$

■答

${\displaystyle t\leqq 1}$，${\displaystyle 2\leqq t}$

■ヒント

　底を$3$にそろえ，${\displaystyle 3^t=X}$ とおく

■解説

${\displaystyle 4\cdot 3^{t+1}}$${\displaystyle \leqq 9^t+27}$

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq {\left(3^2\right)}^t-4·\left(3^t·3^1\right)}$

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq {\left(3^t\right)}^2-12·3^t+27}$

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq X^2-12·X+27}$　･･････(1)

${\displaystyle 3^t=X>0}$ とおき，それを(1)に代入する．

${\displaystyle 0\leqq X^2-12·X+27}$

次に因数分解をすると

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq X^2-12·X+27}$

${\displaystyle 0}$${\displaystyle \leqq \left(X-3\right)\left(X-9\right)}$

となる.よって，$X$ の範囲は

${\displaystyle X\leqq 3}$，${\displaystyle 9\leqq X}$

となる．

$X$を ${\displaystyle 3^t}$ に戻すと

${\displaystyle 3^t\leqq 3}$，${\displaystyle 3^t\leqq 3^1}$　･･････(2)

${\displaystyle 9\leqq 3^t}$，${\displaystyle 3^2\leqq 3^t}$　･･････(3)

となる.底$3$が$1$より大きい．よって

(2)より

${\displaystyle t\leqq 1}$

(3)より

${\displaystyle 2\leqq t}$

以上より

${\displaystyle t\leqq 1}$，${\displaystyle 2\leqq t}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月28日