基本的な指数の問題

■問題

${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}=3}$ のとき，次の値を求めよ．

${\displaystyle x^2+x^{-2}}$

■答

${\displaystyle x^2+x^{-2}=47}$

■解説

この結果より

${\displaystyle x+x^{-1}=7}$

求める式の指数が与式の左辺の指数の2倍になっている．与式の両辺を2乗すると

${\displaystyle {\left(x+x^{-1}\right)}^2=7^2}$

左辺に乗法の公式を適応する．

${\displaystyle {\left(x^1+x^{-1}\right)}^2={\left(x^1\right)}^2+2\left(x^1\right)\left(x^{-1}\right)+{\left(x^{-1}\right)}^2}$

各項に指数法則を適用する．

${\displaystyle {\left(x^1\right)}^2}$${\displaystyle =x^{\left(1\right)\times 2}}$${\displaystyle =x^2}$

${\displaystyle \left(x^1\right)\left(x^{-1}\right)}$${\displaystyle =x^{\left(1-1\right)}}$${\displaystyle =x^0}$

${\displaystyle {\left(x^{-1}\right)}^2}$${\displaystyle =x^{\left(-1\right)\times 2}}$${\displaystyle =x^{-2}}$

つまり，与式は

${\displaystyle x^2+2x^0+x^{-2}=7^2=49}$

と式変形できる．

0が指数の場合は

${\displaystyle x^0=1}$

が成り立つので

${\displaystyle x^2+2+x^{-2}=49}$

となる．２を右辺へ移項する．

${\displaystyle x^2+x^{-2}=}$${\displaystyle 47}$

値を求めることができた．

　

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月27日