基本的な指数関数のグラフ

■問題

次の式のグラフを描け．

${\displaystyle y=2^{2x+1}+1}$

■答

■ヒント

基本となるグラフを原点を中心に 拡大と平行移動することによって描く．

${\displaystyle y=2^{2x+1}+1}$

のグラフの場合，基本となるグラフは

${\displaystyle y=2^x}$

である．

■解き方

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$のグラフを

原点を中心に，${\displaystyle x}$軸方向に${\displaystyle c}$倍，${\displaystyle y}$軸方向に${\displaystyle d}$ 倍した後，${\displaystyle x}$軸方向に${\displaystyle a}$，${\displaystyle y}$軸方向に${\displaystyle b}$ 平行移動

したグラフを表す関数は

${\displaystyle \frac{y-b}{d}=f\left(\frac{x-a}{c}\right)}$　･･････(1)

である．(グラフの拡大→平行移動参照)

${\displaystyle y=2^{2x+1}+1}$を以下のように変形する.

${\displaystyle y=2^{2x+1}+1}$

${\displaystyle y-1=2^{2x+1}}$

${\displaystyle \frac{y-1}{1}=2^{2\left(x+\frac{1}{2}\right)}}$

${\displaystyle \frac{y-1}{1}=2^{\frac{x-\left(-\frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{2}}}}$

よって

${\displaystyle \frac{x-a}{c}=\frac{x-\left(-\frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle \frac{y-b}{d}=\frac{y-1}{1}}$

となる

ゆえに，${\displaystyle x}$軸方向の倍率${\displaystyle c}$に相当するのは${\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，${\displaystyle y}$軸方向の倍率${\displaystyle d}$に相当するのは${\displaystyle 1}$である.

また，${\displaystyle x}$軸方向の平行移動量$a$に相当するのは${\displaystyle -\frac{1}{2}}$であり，${\displaystyle y}$軸方向の平行移動量$b$に相当するのは${\displaystyle 1}$である.

以上より

${\displaystyle y=2^{2x+1}+1}$

のグラフは

${\displaystyle y=2^x}$

のグラフを

原点を中心に${\displaystyle x}$軸方向に${\displaystyle \frac{1}{2}}$倍，${\displaystyle y}$軸方向に${\displaystyle 1}$倍した後，${\displaystyle x}$軸方向に${\displaystyle -\frac{1}{2}}$，${\displaystyle y}$軸方向に${\displaystyle 1}$平行移動

したものであることがわかる．

したがって，グラフは下図のようになる．${\displaystyle y=4^x}$ のグラフはここを参照

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年11月29日