ルートを含む式の計算問題

■問題

次の式の分母を有理化し，式を簡単にせよ．

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}}$

■答

${\displaystyle \frac{5\sqrt{2}+3\sqrt{3}-4\sqrt{6}+2}{23}}$

■ヒント

分母の有理化を参考にする．

■解説

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}}$

分母の${\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}+2}$ の符号を変えた${\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{3}-2}$ を分母・分子に をかける．

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-2}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\right)}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-2}{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2-2^2}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-2}{2+2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+3-4}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-2}{2\sqrt{6}+1}}$

分母の${\displaystyle 2\sqrt{6}+1}$ の符号を変えた$2\sqrt{6}-1$ を分母・分子に をかける．

${\displaystyle =\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\right)\left(2\sqrt{6}-1\right)}{\left(2\sqrt{6}+1\right)\left(2\sqrt{6}-1\right)}}$

${\displaystyle =\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-4\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+2}{24-1}}$

${\displaystyle =\frac{5\sqrt{2}+3\sqrt{3}-4\sqrt{6}+2}{23}}$

　

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最終更新日： 2025年12月24日