関数のべき級数展開

■問題

次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．

${\displaystyle cosx}$

■ヒント

${\displaystyle f\left(x\right)=cosx}$ とおいて，微分を順次行い ${\displaystyle f^{\left(5\right)}\left(x\right)}$ まで導関数を求める．

そして，各々に各々の導関数の ${\displaystyle x=0}$ の値， ${\displaystyle f^{\prime }\left(0\right),f^{″}\left(0\right),\cdots ,f^{\left(5\right)}\left(0\right)}$ を求める．

最後に，求めた値を マクローリン展開 の式に代入する．

■答

${\displaystyle f\left(x\right)=cosx}$ とおく．

すなわち，${\displaystyle m=0,1,2,3,\cdots }$ に対して，

${\displaystyle f^{\left(n\right)}\left(0\right)=\left\{\begin{array}{l}0\left(n=2m+1\right)\\ 1\left(n=4m\right)\\ -1\left(n=4m+2\right)\end{array}\right.}$

ゆえに，

${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle =f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2}$${\displaystyle +\frac{f^{‴}(0)}{3!}{x}^3}$${\displaystyle +\cdots }$${\displaystyle +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n}$${\displaystyle +\cdots }$

${\displaystyle =1+0\cdot x+\frac{-1}{2!}{x}^2+\frac{0}{3!}{x}^3}$${\displaystyle +\frac{1}{4!}{x}^4+\frac{0}{5!}{x}^5}$${\displaystyle +\frac{-1}{6!}{x}^6+\cdots }$

${\displaystyle =1-\frac{1}{2!}{{\displaystyle x}}^2+\frac{1}{4!}{{\displaystyle x}}^4-\frac{1}{6!}{{\displaystyle x}}^6+\cdots }$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日