次の関数をべき級数展開（マクローリン展開）をせよ．
log( 1−x )
f( x )=log( 1−x ) とおいて微分を5回行い f ′ ( x ) 〜 f (5) ( x ) を求める．
それぞれに x=0 を代入して f ( 0 ) 〜 f (5) ( 0 ) を求める．
最後に f ( 0 ) 〜 f (5) ( 0 ) 値を マクローリン展開の式に代入する．
f( x )=log( 1−x ) とおいて， f ′ ( x ) から f (5) ( x ) を求める．
f ′ ( x ) = −1 1−x
f ″ ( x ) = ( −1 1−x ) ′ = { ( −1 ) ( 1−x ) −1 } ′ =( −1 ){ ( −1 ) ( 1−x ) −2 ×( −1 ) } =( −1 ) ( 1−x ) −2 = −1 ( 1−x ) 2
f ‴ ( x ) = { −1 ( 1−x ) 2 } ′ = { ( −1 ) ( 1−x ) −2 } ′ =( −1 ){ ( −2 ) ( 1−x ) −3 ×( −1 ) }=( −2 ) ( 1−x ) −3 = −2 ( 1−x ) 3
f (4) ( x ) = { −2 ( 1−x ) 3 } ′ = { ( −2 ) ( 1−x ) −3 } ′ =( −2 ){ ( −3 ) ( 1−x ) −4 ×( −1 ) }=( −6 ) ( 1−x ) −4 = −6 ( 1−x ) 4
f (5) ( x ) = { −6 ( 1−x ) 4 } ′ = { ( −6 ) ( 1−x ) −4 } ′ =( −6 ){ ( −4 ) ( 1−x ) −5 ×( −1 ) }=( −24 ) ( 1−x ) −5 = −24 ( 1−x ) 5
x=0 のとき f ( x ) から f (5) ( x ) の値は
f( x )=log( 1−x ) f( 0 )=0 ( f( 0 )=log( 1+0 )=log1 )
f ′ ( x )= −1 1−x f ′ ( 0 ) =−1 ( f ′ ( 0 ) = − 1 1 − 0 = − 1 1 )
f ″ ( x )= −1 ( 1−x ) 2 f ″ ( 0 ) =−1 ( f ″ ( 0 )= −1 ( 1−0 ) 2 =− 1 1 2 =− 1 1 )
f ‴ ( x )= −2 ( 1−x ) 3 f ‴ ( 0 ) =−2 ( f ‴ ( 0 )= −2 ( 1−0 ) 3 =− 2 1 3 =− 2 1 )
f (4) ( x )= −6 ( 1−x ) 4 f (4) ( 0 ) =−6 ( f (4) ( 0 )= −6 ( 1−0 ) 4 =− 6 1 4 =− 6 1 )
f (5) ( x )= −24 ( 1−x ) 5 f (5) ( 0 ) =−24 ( f (5) ( 0 )= −24 ( 1−0 ) 5 =− 24 1 5 =− 24 1 )
⋮
となる．マクローリン展開の式に f ( 0 ) から f ( 5 ) ( 0 ) の値を代入する．
log( 1−x ) =f( 0 )+ f ′ ( 0 )x+ f ″ ( 0 ) 2! x 2 + f ‴ ( 0 ) 3! x 3 +⋯ + f ( n ) ( 0 ) n! x n +⋯
= 0 + ( − 1 ) x + − 1 2 x 2 + − 2 6 x 3 + − 6 24 x 4 + − 24 120 x 5 + ⋯
= − x − 1 2 x 2 − 1 3 x 3 − 1 4 x 4 − 1 5 x 5 + ⋯
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学生スタッフ最終更新日： 2024年5月28日