数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{1-1}{3+1-1},\frac{1-2^3}{24+2^2-1},\frac{1-3^3}{81+3^2-1},\cdot \cdot \cdot ,\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1},\cdot \cdot \cdot }$

すなわち，第 ${\displaystyle n}$ 項が

${\displaystyle a_n=\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1}=-\frac{1}{3}}$

■ヒント

${\displaystyle n}$ にそのまま ${\displaystyle \infty }$ を代入すると， ${\displaystyle \frac{-\infty }{\infty }}$ の形になってしまい極限が分からない．

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0}$ ，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0}$，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^3}=0}$ を利用する．

したがって，分母の変数の中で最も次数の高いもので割る．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{1-n^3}{3n^3+n^2-1}}$

分母，分子を${\displaystyle n^3}$ で割る．

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\frac{1}{n^3}-1}{3+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^3}}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ の時， ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ と${\displaystyle \frac{1}{n^3}}$ は ${\displaystyle 0}$ になる．

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{-1}{3}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{3}}$

すなわち，与式は ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$ に収束する．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日