数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{4+3-1}{2-3},\frac{32+6-1}{8-3},\frac{108+9-1}{18-3},\cdot \cdot \cdot ,\frac{4n^3+3n-1}{2n^2-3},\cdot \cdot \cdot }$

すなわち，第 ${\displaystyle n}$ 項が

${\displaystyle a_n=\frac{4n^3+3n-1}{2n^2-3}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{4n^3+3n-1}{2n^2-3}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{4n^3+3n-1}{2n^2-3}=\infty }$

■ヒント

${\displaystyle n}$ にそのまま ${\displaystyle n\to \infty }$ を代入すると， ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ の形になってしまい極限がわからない．

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0}$ ，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0}$，${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^3}=0}$ を利用する．

したがって，分母の変数の中で最も次数の高いもので割る．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{4n^3+3n-1}{2n^2-3}}$

分母，分子を${\displaystyle n^2}$ で割る．

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\displaystyle 4n+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}}{{\displaystyle 2-\frac{3}{n^2}}}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ の時，${\displaystyle \frac{3}{n}}$ と${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$と${\displaystyle \frac{3}{n^2}}$ は ${\displaystyle 0}$ になる． また，${\displaystyle 4n}$ は${\displaystyle \infty }$ になる．よって

${\displaystyle =\frac{\infty }{2}}$

${\displaystyle =\infty }$

すなわち，与式は${\displaystyle \infty }$ になるため，正の無限大に発散する．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日