数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{1}{1^2-1},\frac{1}{2^2-1},\frac{1}{3^2-1},\cdots \frac{1}{n^2-1}}$${\displaystyle ,\cdots }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{1}{n^2-1}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n^2-1}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n^2-1}=0}$

■ヒント

${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときに，分母，分子がそれぞれどのような値になるのかを調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \frac{1}{n^2-1}}$ は，分子は一定${\displaystyle \left(=1\right)}$ で，${\displaystyle n}$ が大きくなると分母${\displaystyle n^2-1}$ は大きくなることより

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば，${\displaystyle \frac{1}{n^2-1}}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する

よって

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{n^2-1}=0}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日