数列の極限

■問題

数列

${\displaystyle 1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},\dots ,\sqrt{n},\dots }$

すなわち第${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\sqrt{n}}$

の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}=\infty }$

■ヒント

平方根の特徴を利用する．

■解き方

${\displaystyle m=k^2}$ ，${\displaystyle k=1,2,\cdots }$の関係を満たすとすると

${\displaystyle k\to \infty }$ ⇔ ${\displaystyle n\to \infty }$

となる．よって

${\displaystyle \underset{m\to \infty }{\lim }\sqrt{m}=\underset{k\to \infty }{\lim }\sqrt{k^2}=}$${\displaystyle \underset{k\to \infty }{\lim }k=\infty }$

となる．

次に，$n>m=k^2$となる$n$を考えると

$n\to \infty$のとき，$m\to \infty$より

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}>\underset{m\to \infty }{\lim }\sqrt{m}=\infty$

が導かれる．したがって

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}=\infty$

となる．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>問題演習>>数列の極限

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年12月15日