数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle 1,{\left(\frac{1}{2}\right)}^2,{\left(\frac{1}{3}\right)}^3,\cdot \cdot \cdot ,{\left(\frac{1}{n}\right)}^n,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n={\left(\frac{1}{n}\right)}^n}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{1}{n}\right)}^n}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{1}{n}\right)}^n=0}$

■ヒント

${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときに，分母，分子がそれぞれどのような値になるのかを調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle {\left(\frac{1}{n}\right)}^n=\frac{1}{n^n}}$

$n\to \infty$のとき

分子は，${\displaystyle 1}$ で一定，分母は，${\displaystyle n^n\to \infty }$ となる

よって

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{1}{n}\right)}^n=0}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日