数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{5}{2},{\left(\frac{5}{2}\right)}^2,{\left(\frac{5}{2}\right)}^3,\cdot \cdot \cdot ,{\left(\frac{5}{2}\right)}^n,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n={\left(\frac{5}{2}\right)}^n}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{5}{2}\right)}^n}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{5}{2}\right)}^n=\infty }$

■ヒント

${\displaystyle \frac{5}{2}>1}$であること．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{5}{2}\right)}^n}$

において

${\displaystyle \frac{5}{2}>1}$

であるから，$x^n$ 極限より ${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle {\left(\frac{5}{2}\right)}^n}$ は正の無限大に発散する．
したがって

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{5}{2}\right)}^n=\infty }$

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日