数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle 2\left(\frac{3}{7}-8\right),2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^2-8\right\}}$${\displaystyle ,2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^3-8\right\},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}=-16}$

■ヒント

${\displaystyle \frac{3}{7}<1}$ である．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}2\left\{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-8\right\}}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\left\{{2\left(\frac{3}{7}\right)}^n-16\right\}}$

${\displaystyle \frac{3}{7}<1}$ より${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{3}{7}\right)}^n=0}$ ($\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n$を参照 )．よって

${\displaystyle =-16}$

すなわち，与式は${\displaystyle -16}$ に収束する．

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学生スタッフ
最終更新日： 2024年5月28日