数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \left(3+\frac{1}{1+3}\right)\left(2+\frac{1}{2}\right)}$${\displaystyle ,\left(3+\frac{1}{2+3}\right)\left(2+\frac{1}{4}\right)}$${\displaystyle ,\left(3+\frac{1}{3+3}\right)\left(2+\frac{1}{6}\right)}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot ,\left(3+\frac{1}{n+3}\right)\left(2+\frac{1}{2n}\right)}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち， 第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\left(3+\frac{1}{n+3}\right)\left(2+\frac{1}{2n}\right)}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\left(3+\frac{1}{n+3}\right)\left(2+\frac{1}{2n}\right)}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\left(3+\frac{1}{n+3}\right)\left(2+\frac{1}{2n}\right)}$${\displaystyle =6}$

■ヒント

${\displaystyle n}$ が含まれていない項は一定であるから,${\displaystyle \frac{1}{n+3},\frac{1}{2n}}$ の ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べれば良い．

■解き方

${\displaystyle \left[1\right]}$ ${\displaystyle \frac{1}{n+3}}$

分子は一定${\displaystyle \left(=1\right)}$ で，${\displaystyle n}$ が大きくなると分母 ${\displaystyle n+3}$ は大きくなることより

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle 1n+3}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する

${\displaystyle \left[2\right]}$ ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$

分子は一定${\displaystyle \left(=1\right)}$ で，${\displaystyle n}$ が大きくなると分母 ${\displaystyle 2n}$ は大きくなることより

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle \frac{1}{2n}}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する．

${\displaystyle \left[1\right],\left[2\right]}$ より

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\left(3+\frac{1}{n+3}\right)\left(2+\frac{1}{2n}\right)}$${\displaystyle =\left(3+0\right)\left(2+0\right)}$${\displaystyle =3\times 2}$${\displaystyle =6}$

よって，与式は${\displaystyle 6}$ に収束する．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日