数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{-\frac{1}{2}+2}{\frac{2}{3}-4},\frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+2}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-4}}$${\displaystyle ,\frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3+2}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^3-4}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot ,\frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+2}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-4}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

の数列，すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+2}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-4}}$

となるの極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+2}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-4}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+2}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-4}=-\frac{1}{2}}$

■ヒント

${\displaystyle n}$ が含まれていない項は一定であるから， ${\displaystyle {\left(-\frac{1}{2}\right)}^n,{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}$ の ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べれば良い．

■解き方

${\displaystyle \left[1\right]}$ ${\displaystyle {\left(-\frac{1}{2}\right)}^n}$

${\displaystyle -1<-\frac{1}{2}<1}$より

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle {\left(-\frac{1}{2}\right)}^n}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する

${\displaystyle \left[2\right]}$ ${\displaystyle {\left(\frac{2}{3}\right)}^n}$

${\displaystyle -1<\frac{2}{3}<1}$より

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle {\left(\frac{2}{3}\right)}^n}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する

${\displaystyle \left[1\right],\left[2\right]}$ より

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n+2}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-4}}$${\displaystyle =\frac{0+2}{0-4}}$${\displaystyle =-\frac{2}{4}}$${\displaystyle =-\frac{1}{2}}$

よって，与式は${\displaystyle -\frac{1}{2}}$ に収束する．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日