数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{5-8}{4-3},\frac{10-8}{8-3},\frac{15-8}{12-3}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot ,\frac{5n-8}{4n-3}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{5n-8}{4n-3}}$ となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{5n-8}{4n-3}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{5n-8}{4n-3}=\frac{5}{4}}$

■ヒント

すぐに ${\displaystyle n\to \infty }$ とすると， ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$の形になってしまう．したがって，分母の変数の中で最も次数の高いもので割る．最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{5n-8}{4n-3}}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{5-\frac{8}{n}}{4-\frac{3}{n}}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ の時，${\displaystyle \frac{8}{n},\frac{3}{n}}$ は ${\displaystyle 0}$ になる．よって

${\displaystyle =\frac{5}{4}}$

すなわち，与式は ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ に収束する．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日