数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{2-6}{1+8},\frac{16-6}{2+8},\frac{54-6}{3+8},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,\frac{2n^3-6}{n+8}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

の，すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{2n^3-6}{n+8}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^3-6}{n+8}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^3-6}{n+8}=\infty }$

■ヒント

直接 ${\displaystyle n\to \infty }$ とすると， ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ の形になる．従って，分母の変数の中で最も次数の高いもので分子・分母を割る．

式を変形した後， ${\displaystyle n}$ が含まれている項のみ， ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^3-6}{n+8}}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^2-\frac{6}{n}}{1+\frac{8}{n}}}$

${\displaystyle n}$ が含まれていない項は一定であるから， ${\displaystyle 2n^2,\frac{6}{n},\frac{8}{n}}$ の ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べれば良い．

${\displaystyle \left[1\right]}$ ${\displaystyle 2n^2}$

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle 2n^2}$ は正の無限大に発散する．

${\displaystyle \left[2\right]}$ ${\displaystyle \frac{6}{n}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle \frac{6}{n}}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する．

${\displaystyle \left[3\right]}$ ${\displaystyle \frac{8}{n}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle \frac{8}{n}}$ は${\displaystyle 0}$ に収束する．

${\displaystyle \left[1\right],\left[2\right],\left[3\right]}$ より

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^3-6}{n+8}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2n^2-\frac{6}{n}}{1+\frac{8}{n}}}$${\displaystyle =\frac{\infty -0}{1+0}}$${\displaystyle =\infty }$

よって，与式は正の無限大に発散する．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日