数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{4}{1+3},\frac{8}{4+3},\frac{12}{9+3},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,\frac{4n}{n^2+3}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

の，すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{4n}{n^2+3}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{4n}{n^2+3}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{4n}{n^2+3}=0}$

■ヒント

${\displaystyle n\to \infty }$ とすると， ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ の形になってしまう．

したがって，分母の変数の中で最も次数の高いもので割る．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{4n}{n^2+3}}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\frac{4}{n}}{1+\frac{3}{n^2}}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ の時，${\displaystyle \frac{4}{n},\frac{3}{n^2}}$ は ${\displaystyle 0}$ になる．

${\displaystyle =0}$

すなわち，与式は ${\displaystyle 0}$ に収束する．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日