数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7+4}},\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{14+4}},\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{21+4}},\cdot \cdot \cdot }$${\displaystyle ,\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$${\displaystyle ,\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}=\frac{\sqrt{21}}{7}}$

■ヒント

すぐに ${\displaystyle n\to \infty }$ とすると， ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ の形になってしまう．

したがって，分母の変数の中で最も次数の高いもので割る．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{7n+4}}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{\frac{3n}{7n+4}}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{\frac{3}{7+\frac{4}{n}}}}$

${\displaystyle n\to \infty }$ の時，${\displaystyle \frac{4}{n}}$ は ${\displaystyle 0}$ になる．

${\displaystyle =\sqrt{\frac{3}{7}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$

有理化する．

${\displaystyle =\frac{\sqrt{21}}{7}}$

すなわち，与式は ${\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{7}}$ に収束する．

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月28日