数列の極限に関する問題

■問題

数列

${\displaystyle \sqrt{1}\left(\sqrt{1+2}-\sqrt{1}\right),}$ ${\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{2+2}-\sqrt{2}\right),}$ ${\displaystyle \sqrt{3}\left(\sqrt{3+2}-\sqrt{3}\right),\cdot \cdot \cdot ,}$ ${\displaystyle \sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right),\cdot \cdot \cdot }$

すなわち第 ${\displaystyle n}$ 項

${\displaystyle a_n=\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}$

となる数列の極限値

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n}$${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}$

を求めよ．

■答

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=\underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}$${\displaystyle =1}$

■ヒント

${\displaystyle \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$ を掛ける．

式を変形した後， ${\displaystyle n}$ が含まれている項のみ， ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べる．

最後に，式全体で収束・発散を判断する．

■解き方

直接 ${\displaystyle n\to \infty }$ とすると， ${\displaystyle \infty \left(\infty -\infty \right)}$ の形になる．従って， ${\displaystyle \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$ を掛けて，値が定まらない${\displaystyle \infty -\infty }$ が消えるように式を変形する．

備考：${\displaystyle \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=1}$ より，${\displaystyle \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$ を掛けても値はかわらない．

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{n}\left(n+2-n\right)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{n}\times 2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$

分母の変数の中で最も $n$ 次数の高い $\sqrt{n}$ で，分子・分母を割る．

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{\sqrt{n}\times 2}{\sqrt{n}}}{\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}}$

${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{lim}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}}$

${\displaystyle n}$ が含まれていない項は一定であるから，${\displaystyle \frac{2}{n}}$ の ${\displaystyle n}$ が ${\displaystyle \infty }$ になったときの値を調べれば良い．

${\displaystyle n\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle \frac{2}{n}}$ は ${\displaystyle 0}$ に収束する．よって

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\right)}$ ${\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{1+0}+1}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{1}+1}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{1+1}}$ ${\displaystyle =\frac{2}{2}=1}$

よって，与式は ${\displaystyle 1}$ に収束する．

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最終更新日： 2024年9月11日