ベクトルの計算問題(別解)

■問題

点 $\text{A}$ ${\displaystyle \left(-1,-1,1\right)}$ ， 点 $\text{B}$ ${\displaystyle \left(-1,3,-1\right)}$ ， 点 $\text{C}$ ${\displaystyle \left(1,3,-2\right)}$ ， 点 $\text{D}$ ${\displaystyle \left(3,3,3\right)}$ を頂点とする四面体の体積を求めよ．

■答

四面体の体積は $8$

■ヒント

四面体の体積の式を利用

■解説

四面体の体積 $V$ は

${\displaystyle V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \left(\overrightarrow{\text{AC}}\times \overrightarrow{\text{AD}}\right)\right|}$

である．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\left(-1,3,-1\right)-\left(-1,-1,1\right)}$ ${\displaystyle =\left(0,4,-2\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\left(-1,3,-1\right)-\left(1,3,-2\right)}$ ${\displaystyle =\left(-2,0,1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AD}}=\left(-1,3,-1\right)-\left(3,3,3\right)}$ ${\displaystyle =\left(-4,0,-4\right)}$

よって

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}\times \overrightarrow{\text{AD}}=\left(-2,0,1\right)\times \left(-4,0,-4\right)}$ ${\displaystyle =\left(0,-12,0\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\cdot \left(\overrightarrow{\text{AC}}\times \overrightarrow{\text{AD}}\right)}$ ${\displaystyle =\left(0,4,-2\right)\cdot \left(0,-12,0\right)}$ ${\displaystyle =0-48+0}$ ${\displaystyle =-48}$

したがって

${\displaystyle V=\frac{1}{6}\left|-48\right|=8}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年10月23日