平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点${\displaystyle \text{A}\left(1,1,-2\right)}$ ，${\displaystyle \text{B}\left(1,-1,2\right)}$ ，${\displaystyle \text{C}\left(2,2,1\right)}$ を通る平面の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle 5x-2y-z-5=0}$

■ヒント

点 ${\displaystyle \text{A}\left(x_1,y_1,z_1\right)}$ を通り，法線ベクトル ${\displaystyle \stackrel{⟶}{n}=\left(a,b,c\right)}$の 平面の方程式は

${\displaystyle a\left(x-x_1\right)+b\left(y-y_1\right)+c\left(z-z_1\right)=0}$　 (点 ${\displaystyle \text{A}\left(x_1,y_1,z_1\right)}$ を通る)

を用いる．

■解説

${\displaystyle \stackrel{⟶}{n}\perp \stackrel{⟶}{AB}}$ より

${\displaystyle \stackrel{⟶}{n}·\stackrel{⟶}{AB}=0}$，${\displaystyle \left(a,b,c\right)\cdot \left(0,-2,4\right)=0}$，${\displaystyle -2b+4c=0}$，${\displaystyle b=2c}$　･･････(1)

${\displaystyle \stackrel{⟶}{n}\perp \stackrel{⟶}{AC}}$ より

${\displaystyle \stackrel{⟶}{n}·\stackrel{⟶}{AC}=0}$，${\displaystyle \left(a,b,c\right)·\left(1,1,3\right)=0}$，${\displaystyle a=-5c}$　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle a:b:c=-5:2:1}$

となる．

よって，求める方程式は

${\displaystyle -5\left(x-1\right)+2\left(y-1\right)+\left(z+2\right)=0}$

${\displaystyle 5x-2y-z-5=0}$

となる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年1月15日