重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\iint }_D\log xy}dxdy$ 　　 $\left(D:1\leqq x\leqq 2,1\leqq y\leqq 2\right)$

■ヒント

$\log x$ の積分の応用である

■答

$4\log 2-2$

■解説　

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle {\int }_1^2\log xy}}dxdy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{{\displaystyle {\int }_1^2\log xydx}\right\}}dy}$　　　　　

（${\displaystyle {\displaystyle \int \log x}dx}$の計算を参照） 

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{{\displaystyle {\int }_1^{2}1·\log xydx}\right\}}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{\left(2\log 2y-\log y\right)-{\left[x\right]}_1^2\right\}}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{{\left[x\log xy\right]}_1^2-{\displaystyle {\int }_1^{2}x·\frac{y}{xy}dx}\right\}}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{\log {\left(2y\right)}^2-\log y-\left(2-1\right)\right\}}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left\{\log \frac{4y^2}{y}-1\right\}}dy}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_1^2\left(\log 4y-1\right)}dy}$

${\displaystyle ={\left[y\log 4y\right]}_1^2-{\displaystyle {\int }_1^{2}y\frac{1}{y}}dy-{\left[y\right]}_1^2}$

${\displaystyle =2\log 8-\log 4-{\left[y\right]}_1^2-{\left[y\right]}_1^2}$

${\displaystyle =2\log 8-\log 4-1-1}$

${\displaystyle =\log 64-\log 4-2}$

${\displaystyle =\log 16-2}$

${\displaystyle =\log 2^4-2}$

${\displaystyle =4\log 2-2}$

　

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最終更新日： 2026年10月6日