ラプラス変換の線形性

$3$\displaystyle{a}$ , $3$\displaystyle{b}$ を実数の定数とすると

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}} \{ af $t$ \} =a\text{\hspace{1}}L\text{\hspace{1}} \{ f $t$ \} }$

$3$\displaystyle{ L\text{} \{ a\hspace{1}{f}_{1} $t$ +b\hspace{1}{f}_{2} $t$ \} }$ $3$\displaystyle{ =a\text{}L\text{} \{ \hspace{1}{f}_{1} $t$ \} +b\text{}L\text{} \{ \hspace{1}{f}_{2} $t$ \} }$

の2式が成り立ち，ラプラス変換は線形性を持つ．

■証明

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}} \{ af $t$ \} =\int _{0}^{\infty} {e}^{ - st } \{ af $t$ \} dt}$

$3$\displaystyle{=a\int _{0}^{\infty} {e}^{ - st }f $t$ dt}$

$3$\displaystyle{=a\text{\hspace{1}}L\text{\hspace{1}} \{ f $t$ \} }$

$3$\displaystyle{L\text{\hspace{1}} \{ a\hspace{1}{f}_{1} $t$ +b\hspace{1}{f}_{2} $t$ \} \text{\hspace{1}}}$ $3$\displaystyle{=\int _{0}^{\infty} {e}^{ - st } \{ a\hspace{1}{f}_{1} $t$ +b\hspace{1}{f}_{2} $t$ \} dt}$

$3$\displaystyle{=a\int _{0}^{\infty} {e}^{ - st }\hspace{1}{f}_{1} $t$ dt+b\int _{0}^{\infty} {e}^{ - st }\hspace{1}{f}_{2} $t$ dt}$

$3$\displaystyle{=a\text{\hspace{1}}L\text{\hspace{1}} \{ \hspace{1}{f}_{1} $t$ \} +b\text{\hspace{1}}L\text{\hspace{1}} \{ \hspace{1}{f}_{2} $t$ \} }$

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最終更新日： 2023年6月6日