$3$\displaystyle{{D}^{n}y=0}$ の一般解

$3$\displaystyle{{D}^{n}y=0}$ の一般解は

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{0}+\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2}{x}^{2}+\cdots +\hspace{1}{c}_{ n- 1 }{x}^{ n- 1 }}$

となる．

■導出

$3$\displaystyle{y}$ は $3$\displaystyle{x}$ の関数とする．

$3$\displaystyle{{D}^{n}y=0}$

は微分演算子の定義より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{n}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{n} \hspace{2}}=0}$ ･･････(1)

と書き換えられる．さらに(1)式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} {d}^{ n- 1 }y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{ n- 1 } \hspace{2}} $ =0}$ ･･････(2)

となる．

(2)は $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {d}^{ n- 1 }y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{ n- 1 } \hspace{2}} }$ を微分したものが0となることを意味する．よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{ n- 1 }y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{ n- 1 } \hspace{2}}=\hspace{1}{c}_{ n- 1 }}$ ･･････(3)　　　( $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{ n- 1 }}$ は任意定数)

となる．

(3)は積分をすると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} {d}^{ n- 2 }y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{ n- 2 } \hspace{2}} $ =\hspace{1}{c}_{ n- 1 }}$ ･･････(4)

となる．

つまり(4)式は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{ n- 2 }y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{ n- 2 } \hspace{2}}=\hspace{1}{c}_{ n- 2 }+\hspace{1}{c}_{ n- 1 }x}$ 　　 ( $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{ n- 2 }}$ は任意定数)

となる．

同様の操作を繰り返すと

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{0}+\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2}{x}^{2}+\cdots +\hspace{1}{c}_{ n- 1 }{x}^{ n- 1 }}$ 　　( $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{0}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{2}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{ n- 1 }}$ は任意定数)

となる．

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最終更新日： 2024年5月17日