式の導出

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}{e}^{ \alpha x }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $\alpha $ \hspace{2}}{e}^{ \alpha x }}$ $3$\displaystyle{ $ f \(\alpha $ \neq 0 \) }$

■導出

微分演算子の基本公式

$3$\displaystyle{f $D$ {e}^{ \alpha x }=f $\alpha $ {e}^{ \alpha x }}$ ⇒詳細

を利用する．

$3$\displaystyle{f $\alpha $ \neq 0}$ なので，両辺を $3$\displaystyle{f $\alpha $ }$ で割って

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $\alpha $ \hspace{2}}f $D$ {e}^{ \alpha x }={e}^{ \alpha x }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({\alpha }\right) \hspace{2}}}$ は定数であるので，

$3$\displaystyle{f $D$ \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $\alpha $ \hspace{2}}{e}^{ \alpha x } \] ={e}^{ \alpha x }}$

よって，逆演算子の定義より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}{e}^{ \alpha x }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $\alpha $ \hspace{2}}{e}^{ \alpha x }}$

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最終更新日：2024年5月17日