式の導出

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}F $x$ }$ $3$\displaystyle{={e}^{ \alpha x }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $ D+\alpha $ \hspace{2}} \[ {e}^{ - \alpha x }F $x$ \] }$

■導出

微分演算子の基本公式

$3$\displaystyle{f $D$ \[ {e}^{ \alpha x }y \] ={e}^{ \alpha x }f $ D+\alpha $ y}$ ⇒詳細

を利用する．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $ D+\alpha $ \hspace{2}} \[ {e}^{ - \alpha x }F $x$ \] }$ と置き，公式に代入すると

$3$\displaystyle{f $D$ \[ {e}^{ \alpha x }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $ D+\alpha $ \hspace{2}} \[ {e}^{ - \alpha x }F $x$ \] \] }$ $3$\displaystyle{={e}^{ \alpha x }f $ D+\alpha $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $ D+\alpha $ \hspace{2}} \[ {e}^{ - \alpha x }F $x$ \] }$

$3$\displaystyle{f $ D+\alpha $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $ D+\alpha $ \hspace{2}}=1}$ であるから，上の式は次のようになる．

$3$\displaystyle{{e}^{ \alpha x }{e}^{ - \alpha x }=1}$ なので

$3$\displaystyle{f $D$ \[ {e}^{ \alpha x }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $ D+\alpha $ \hspace{2}} \[ {e}^{ - \alpha x }F $x$ \] \] }$ $3$\displaystyle{=F $x$ }$

となる．よって

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>逆演算子の公式 >>式の導出

学生スタッフ作成
　最終更新日： 2024年5月17日