完全微分方程式

ある関数 $3$\displaystyle{u $ x,y $ }$ の全微分 $3$\displaystyle{du=\hspace{1}{u}_{x}dx+\hspace{1}{u}_{y}dy}$ の値が0である

$3$\displaystyle{P $ x,y $ dx+Q $ x,y $ dy=0}$ 　･･････(1)　　　

( $3$\displaystyle{\hspace{1}{u}_{x}=\frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=P $ x,y $ }$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{u}_{y}=\frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=Q $ x,y $ }$ )

を完全微分方程式という．

■完全微分方程式であるための必要十分条件

$3$\displaystyle{P $ x,y $ dx+Q $ x,y $ dy=0}$ が完全微分方程式であるための必要十分条件は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}P $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {\partial}Q $ x,y $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}}$ 　･･････(2)

である．⇒証明

■完全微分方程式の解

●一般解

完全微分方程式 $3$\displaystyle{P $ x,y $ dx+Q $ x,y $ dy=0}$ の一般解は

$3$\displaystyle{u $ x,y $ =c}$ 　( $3$\displaystyle{c}$ ：任意定数)　･･････(3)

である．ただし， $3$\displaystyle{du=P $ x,y $ dx+Q $ x,y $ dy}$ である．

一般解 $3$\displaystyle{ u\left({ x,y }\right)=c }$ を $3$\displaystyle{ P\left({ x,y }\right) }$ と $3$\displaystyle{ Q\left({ x,y }\right) }$ を用いて表すことにする．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}u\left({ x,y }\right)=P\left({ x,y }\right) }$ より

$3$\displaystyle{ u\left({ x,y }\right)=\displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx }+G\left({y}\right) }$ 　( $3$ G\left({y}\right)$ は $3$\displaystyle{y}$ の関数）･･････(4)

となる．

$3$\displaystyle{ Q\left({ x,y }\right)=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}u\left({ x,y }\right) }$ より，(4)を用いて書き換えると

$3$\displaystyle{ Q\left({ x,y }\right)=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\left{{ \displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx }+G\left({y}\right) }\right} }$

$3$\displaystyle{ Q\left({ x,y }\right)=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx }+\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}G\left({y}\right) }$ 　･･････(5)

(5)を $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}G\left({y}\right) }$ について解くと

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}G\left({y}\right)=Q\left({ x,y }\right)- \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx } }$

$3$\displaystyle{ G\left({y}\right)=\displaystyle{ \int \left{{ Q\left({ x,y }\right)- \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx } }\right} }dy }$ 　･･････(6)

(6)を(1)に代入する．

$3$\displaystyle{ u\left({ x,y }\right)=\displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx } }$ $3$\displaystyle{ +\displaystyle{ \int \left{{ Q\left({ x,y }\right)- \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx } }\right} }dy }$

よって，一般解は

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx } }$ $3$\displaystyle{ +\displaystyle{ \int \left{{ Q\left({ x,y }\right)- \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx } }\right}dy }=c }$ 　･･････(7)

となる．(7)は不定積分を使って表現しているが、今度は定積分を使って一般解を表すと

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{a}^{x} P\left({ x,y }\right)dx } }$ $3$\displaystyle{ +\displaystyle{ \int _{b}^{y} \left{{ Q\left({ x,y }\right)- \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{x} P\left({ x,y }\right)dx } }\right}dy }=c }$ 　( $3$\displaystyle{a}$ ， $3$\displaystyle{b}$ は定数 )

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{a}^{x} P\left({ x,y }\right)dx }+\displaystyle{ \int _{b}^{y} Q\left({ x,y }\right)dy } }$ $3$\displaystyle{ - \displaystyle{ \int _{b}^{y} \left{{ \displaystyle{ \int _{a}^{x} \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}P\left({ x,y }\right)dx } }\right}dy }=c }$ 　･･････(8)

(8)に完全微分方程式であるための必要十分条件の(2)を代入すると

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{a}^{x} P\left({ x,y }\right)dx }+\displaystyle{ \int _{b}^{y} Q\left({ x,y }\right)dy } }$ $3$\displaystyle{- \displaystyle{\int }_{b}^{y}\left{{ \displaystyle{\int }_{a}^{x}\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}Q\left({ x,y }\right)dx }\right}dy=c}$

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{a}^{x} P\left({ x,y }\right)dx }+\displaystyle{ \int _{b}^{y} Q\left({ x,y }\right)dy } }$ $3$\displaystyle{ - \displaystyle{ \int _{b}^{y} \left{{ Q\left({ x,y }\right)- Q\left({ a,y }\right) }\right}dy }=c }$

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{a}^{x} P\left({ x,y }\right)dx }+\displaystyle{ \int _{b}^{y} Q\left({ x,y }\right)dy } }$ $3$\displaystyle{ - \displaystyle{ \int _{b}^{y} Q\left({ x,y }\right)dy }+\displaystyle{ \int _{b}^{y} Q\left({ a,y }\right) }dy=c }$

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int _{a}^{x} P\left({ x,y }\right)dx }+\displaystyle{ \int _{b}^{y} Q\left({ a,y }\right) }dy=c }$ 　･･････(9)

●特殊解

初期条件「 $3$\displaystyle{x=\hspace{1}{x}_{0}}$ ， $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{y}_{0}}$ 」を満たす特殊解は，一般解を求めてから初期条件を代入して定数 $3$\displaystyle{c}$ を定めることで求められる．完全微分方程式の場合は，一般解の式(9)を活用すること求めることもできる．

一般解の式(9)に， $3$\displaystyle{a=\hspace{1}{x}_{0}}$ ， $3$\displaystyle{b=\hspace{1}{y}_{0}}$ を代入した式

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{ \hspace{1}{x}_{0} }^{x}P\left({ x,y }\right)dx+\displaystyle{\int }_{ \hspace{1}{y}_{0} }^{y}Q\left({ \hspace{1}{x}_{0},y }\right)dy=c}$ 　･･････(10)

に，初期条件を代入すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int }_{ \hspace{1}{x}_{0} }^{ \hspace{1}{x}_{0} }P\left({ \hspace{1}{x}_{0},y }\right)dx+\displaystyle{\int }_{ \hspace{1}{y}_{0} }^{ \hspace{1}{y}_{0} }Q\left({ \hspace{1}{x}_{0},y }\right)dy=c}$

$3$\displaystyle{0+0=c}$

∵積分範囲が0

$3$\displaystyle{c=0}$

となり任意定数 $3$\displaystyle{c}$ が定まる．したがって，特殊解は

となる．

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　最終更新日： 2024年10月7日