全微分の定義

2変数関数 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ が領域 $3$D\text{\hspace{1} }$ の $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ で全微分可能であれば，

$3$\displaystyle{ f $ a+h,b+k $ - f $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ h+\hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ k+{\varepsilon} $ h,k $ \sqrt{ {h}^{2}+{k}^{2} } }$ ･･････(1)

（ただし， $3$\displaystyle{ $ h,k $ \rightarrow 0}$ ならば $3$\displaystyle{{\varepsilon} $ h,k $ \rightarrow 0}$ )

と表わすことができる．

$3$x$ の変化が微小で，それそれ $3$\displaystyle{dx}$ ， $3$\displaystyle{dy\text{\hspace{1} }}$ と表わせるとき(微分形式を参照)， (1)の右辺の $3$\displaystyle{ {\varepsilon} $ h,k $ \sqrt{ {h}^{2}+{k}^{2} } }$ の値は，右辺の他の部分 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}\text{\hspace{1} } $ a,b $ h+\hspace{1}{f}_{y}\text{\hspace{1} } $ a,b $ k \text{\hspace{1} }}$ の値に比べ微小となり，右辺の値は $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}\text{\hspace{1} } $ a,b $ h+\hspace{1}{f}_{y}\text{\hspace{1} } $ a,b $ k\text{\hspace{1} } }$ が主要なものとなる．

この $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}\text{\hspace{1} } $ a,b $ h+\hspace{1}{f}_{y}\text{\hspace{1} } $ a,b $ k \text{\hspace{1} }}$ の $3$h\text{\hspace{1} }$ を $3$\displaystyle{dx}$ ， $3$y\text{\hspace{1} }$ を $3$\displaystyle{dy\text{\hspace{1} }}$ に置き換えたものを $3$f$ の $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ における全微分といい