全微分可能

領域 $3$D$ で定義された関数(2変数関数) $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ に対して，

$3$\displaystyle{f $ a+h,b+k $ - f $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{=Ah+Bk+{\varepsilon} $ h,k $ \sqrt{ {h}^{2}+{k}^{2} }}$ ･･････(1)

と表わすとき， $3$\displaystyle{ $ h,k $ \rightarrow $ 0,0 $ }$ において $3$\displaystyle{{\varepsilon} $ h,k $ \rightarrow 0}$ が成り立つような定数 $3$A\text{\hspace{1} }$ ， $3$B\text{\hspace{1} }$ が存在するならば， $3$\displaystyle{ f $ x,y $ }$ は点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ において全微分可能であるという．

また，関数 $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ が領域 $3$D$ の各点で全微分可能であるとき， $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ は $3$D$ で全微分可能であるという．

（1）において $3$\displaystyle{k=0\text{\hspace{1} }}$ とおくと

$3$\displaystyle{f $ a+h,b $ - f $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{=Ah+{\varepsilon} $ h,0 $ \sqrt{ {h}^{2} }}$

となる．

$3$\displaystyle{h> 0}$ のとき， $3$\displaystyle{\sqrt{ {h}^{2} }=h\text{\hspace{1} }}$ なので

$3$\displaystyle{f $ a+h,b $ - f $ a,b $ =Ah+{\varepsilon} $ h,0 $ h}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} f $ a+h,b $ - f $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}=A+{\varepsilon} $ h,0 $ }$ ･･････(2)

となる．

$3$\displaystyle{h< 0}$ のとき， $3$\displaystyle{\sqrt{ {h}^{2} }=- h\text{\hspace{1} }}$ なので

$3$\displaystyle{f $ a+h,b $ - f $ a,b $ =Ah- {\varepsilon} $ h,0 $ h}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} f $ a+h,b $ - f $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}=A- {\varepsilon} $ h,0 $ }$ ･･････(3)

となる．

全微分可能であると $3$\displaystyle{h\rightarrow 0\text{\hspace{1} }}$ のとき， $3$\displaystyle{{\varepsilon} $ h,0 $ \rightarrow 0}$ である．

したがって，（2），（3）より

$3$\displaystyle{A={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ a+h,b $ - f $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}\text{\hspace{1} } $ a,b $ }$

となる．すなわち，定数 $3$A\text{\hspace{1} }$ は $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ における $3$x\text{\hspace{1} }$ についての偏微分係数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}\text{\hspace{1} } $ a,b $ }$ となる．

同様にして， $3$\displaystyle{h=0\text{\hspace{1} }}$ とおき $3$\displaystyle{k\rightarrow 0\text{\hspace{1} }}$ とすることにより

$3$\displaystyle{B={ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ a,b+k $ - f $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2}k\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ }$

となる．すなわち，定数 $3$B\text{\hspace{1} }$ は $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ における $3$y\text{\hspace{1} }$ についての偏微分係数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}\text{\hspace{1} } $ a,b $ }$ となる．

【参考文献】

日本数学会編集　「岩波　数学辞典　第4版」，岩波書店

水野克彦　「基礎課程　解析学」，学術図書出版

茂木勇，横手一郎　共著　「基礎微分積分」，裳華房　　

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最終更新日： 2023年1月21日