2階線形同次微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }+P $x$ {y}^{\prime }+Q $x$ y=0}$ ･･････(1)

の2つの解 $3$\displaystyle{u $x$ }$ と $3$\displaystyle{v $x$ }$ が1次独立であれば一般解は

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}u $x$ +\hspace{1}{c}_{2}v $x$ }$ 　　( $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1},\hspace{1}{c}_{2}}$ は定数)

である．

■参考

微分方程式(1)の3つの解を $3$\displaystyle{u $x$ ,v $x$ ,w $x$ }$ とする．これら3つの解の1次結合

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}u $x$ +\hspace{1}{c}_{2}v $x$ +\hspace{1}{c}_{3}w $x$ }$

も微分方程式(1)の解となる．

これらの3つの解が1次独立か1次従属かを検討する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}u+\hspace{1}{c}_{2}v+\hspace{1}{c}_{3}w=0}$ ･･････(2)

とおく．(2)を微分する

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}{u}^{\prime }+\hspace{1}{c}_{2}{v}^{\prime }+\hspace{1}{c}_{3}{w}^{\prime }=0}$ ･･････(3)

(3)を更に微分する

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}{u}^{\prime\prime }+\hspace{1}{c}_{2}{v}^{\prime\prime }+\hspace{1}{c}_{3}{w}^{\prime\prime }=0}$ ･･････(4)

(2)，(3)，(4)を行列を用いて表すと

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}u&v&w& \vspace{6}\\ {u}^{\prime }&{v}^{\prime }&{w}^{\prime }& \vspace{6}\\ {u}^{\prime\prime }&{v}^{\prime\prime }&{w}^{\prime\prime }& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array} \hspace{1}{c}_{1} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{2} & \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{3} & \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ･･････(5)

となる．

行列式

の解を求める．

$3$\displaystyle{u,v,w}$ が(1)の解であるので

$3$\displaystyle{{u}^{\prime\prime }+P{u}^{\prime }+Qu=0}$

$3$\displaystyle{{v}^{\prime\prime }+P{v}^{\prime }+Qv=0}$

$3$\displaystyle{{w}^{\prime\prime }+P{w}^{\prime }+Qw=0}$

が成り立つ．よって

$3$\displaystyle{{u}^{\prime\prime }=- P{u}^{\prime }- Qu}$

$3$\displaystyle{{v}^{\prime\prime }=- P{v}^{\prime }- Qv}$

$3$\displaystyle{{w}^{\prime\prime }=- P{w}^{\prime }- Qw}$

となる．これらを(5)に代入する

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}u&v&w& \vspace{6}\\ {u}^{\prime }&{v}^{\prime }&{w}^{\prime }& \vspace{6}\\ {u}^{\prime\prime }&{v}^{\prime\prime }&{w}^{\prime\prime }& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$ $3$\displaystyle{= \| \begin{array}u&v&w& \vspace{6}\\ {u}^{\prime }&{v}^{\prime }&{w}^{\prime }& \vspace{6}\\ - P{u}^{\prime }- Qu & - P{v}^{\prime }- Qv & - P{w}^{\prime }- Qw & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

3行目に2行目を $3$\displaystyle{ - P }$ 倍して加え，さらに1行目を $3$\displaystyle{ - Q }$ 倍して加えると

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}u&v&w& \vspace{6}\\ {u}^{\prime }&{v}^{\prime }&{w}^{\prime }& \vspace{6}\\ 0&0&0& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=0}$

行列式の値が0となる．

よって， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{3}}$ の何れかが 0 でなくても(6)が成り立つ．つまり(2)も成り立つ．（ここが参考となる）

したがって $3$\displaystyle{u,v,w}$ は1次従属となる．

ホーム>>カテゴリー別分類>>微分>>微分方程式>>関数の1次独立

学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日