積分因子の証明
微分方程式
%20%20dx+Q%20%5c(%20x,y%20%20%5c)%20%20dy=0})
について
(1)
%20%20-%20%5chspace{1}{Q}_{x}%20%5c(%20x,y%20%20%5c)%20%20%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20Q%20%5c(%20x,y%20%20%5c)%20%20%20%20%5chspace{2}}={%5cvarphi}%20%5c(x%5c)%20%20})
(
だけの関数)ならば，%20%20dx%20%20%20%20}})
は積分因子である．
■証明
･･････(1)
(1)の両辺に
%20%20dx%20%20%20%20}%20%20}})
をかける．
%20%20=0})
%20%20dx+%20%5c(%20{%5clambda}Q%20%20%5c)%20%20dy=0})
･･････(2)
(2)が完全微分方程式であるためには
%20%20=%5cfrac{%5chspace{2}{%5cpartial}%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20{%5cpartial}x%20%20%5chspace{2}}%20%5c(%20{%5clambda}Q%20%20%5c)%20%20})
･･････(3)
でなければならない．
%20%20})
%20%20dx%20%20%20%20}%20%20}%20%20%5c)%20%20P%20%20%5c}%20%20})
%20%20dx%20%20%20%20}%20%20}%5cfrac{%5chspace{2}{%5cpartial}%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20{%5cpartial}y%20%20%5chspace{2}}P})
･･････(4)
%20%20})
%20%20dx%20%20%20%20}%20%20}%20%20%5c)%20%20Q%20%20%5c}%20%20})
%20%20Q+{%5clambda}%5chspace{1}{Q}_{x}})
%20%20=%5cfrac{%5chspace{2}%20%5chspace{1}{P}_{y}-%20%5chspace{1}{Q}_{x}%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}Q%5chspace{2}}})
を代入すると
%20%20+{%5clambda}%5chspace{1}{Q}_{x}})
･･････(5)
(4)，(5)より(3)を満足している．
よって
は積分因子である．
ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>積分因子>>積分因子の証明
学生スタッフ作成
最終更新日：
2024年5月17日